Sistemas de ecuaciones lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES. 

Un sistema de ecuaciones con dos incognitas (variables) es un sistema lineal  de ecuaciones formado por dos ecuaciones que admiten un tratamiento especial para su solución tienen la forma:
 donde  a,b,c,d,r  y  s, son constantes.

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema.

Al resolver un sistema  de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas tres posibilidades como solución:

• una solución única, esto es, que las rectas se intersecan en un punto.  En este caso, se dice que el sistema es independiente.  Ejemplo:

Las rectas tienen pendientes diferentes.

• ninguna solución, esto es, que las rectas son paralelas.   El sistema es inconsistente.     Ejemplo:

Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes.

• infinito número de soluciones, esto es, que las rectas coinciden.  El sistema es dependiente.  Ejemplo:

Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y.

En la próxima clase aprenderemos a identificar cada uno de estos casos tomando en cuenta el tipo de sistema con el que trabajemos.

SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.

Aprederemos a resolver sistemas de ecuaciones pot diferentes metodos la correcta aplicanción de ellos estara en depenencia del grado de atención que pongas, iniciaremos estudiando el metodo de REDUCCIÓN O METODO DE SUMA Y RESTA.

• Método de reducción

  Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.
  El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.
  
  
  1. Vamos a eliminar la . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
     
  2. Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda
     
     
  3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda
     
     
     

  Leer y analizar el siguiente problema:

Entre Ana y Sergio tienen 600 cordobas, pero Sergio tiene el doble de dinero que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos "x" a la cantidad de cordobas de Ana e "y" a la cantidad de cordobas de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 cordobas, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de dinero que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

   x + y = 600
2x - y = 0

Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la "y" tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:

3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

 Sustituimos la x para despejar la "y", y tenemos:

200 + y = 600 

 y = 600 - 200

y = 400 

  Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 cordobas y Sergio tiene 400 cordobas.

 Ejercicios para resolver en parejas:

  1. Resolver los siguiente sistemas de ecuaciones lineales:

A.   2X-Y=1        B.  X-Y=0        C.  -X+4Y=-1
      X+Y=0            X+Y=1            2X-3Y=0

  1. Resolver los siguiente sistemas de ecuaciones lineales:

A    X+Y=0           B   X+Y=0        C.   X-2Y=1
    2X+2Y=4              2X+2Y=0         -2X+4Y=-2

 3. ¿De cuáles de estos sistemas es solución el par x = 1, y = -3

4. Escribe otro sistema que tenga la misma solución. 

2. Completa los siguientes sistemas para que la solución de todos ellos sea:
   
   x = 2
   y = -1
   
   

1. Un grupo de amigos tuyos alquila una casa rural para pasar un "puente". Le preguntan al dueño si hay animales en la casa, cuántos y de qué tipo. El dueño, dándoselas de "gracioso" delante de los, según él, tontos de la capital les responde:
   "Tenemos 22 cabezas y 70 patas entre conejos y pájaros".
   Ayuda a tus amigos para que no queden como "pardillos" y averigüa cuántos conejos y cuántos pájaros hay en la casa que han alquilado.
   

 Resolver los siguientes sistemas por el metodo de REDUCCION.

 Actividades tomadas de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/reduccion.html